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u(0, t) = µ(t), 0 ≤ t ≤ T
´ ¥ ¹Tµ
u(L, t) + βux (L, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T
´ F]ºFµ
a(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L.
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u(x, t)
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g(x) = u(x, T ), 0 ≤ x ≤ L,
¡)£_¡)p)§ z²r.¡)r% £TÆ p²¥¡U¯~«r²9 j¡z£F² φ(x), x ∈ [0, L], À¥¿¥p²² ´ F]¶Fµj
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¢x£¥¢9o¡)mª£F¯ªo£¥¦«r¡z£F²xª¡£A¡rªz²¥¡)pÀ¥£FÊ¼_°Jp)p²f¡®G¦1³f«x®5¡)£¥²Î¡9®5¡®G)*²r_mÎ¯~£¥®F²®G²9®G¦z¬Tªª£F¯
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R
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x£F§£FÀ¥p²r£F«xª@m³f«x®5¡)£¥² Ly = 0 ª)®5¡ªo¯~¬fz²rÀ¡)r#zÀFf¡;¤h£F«x²xr®G)¬. £F²9_±¡)£¥²xª z(L) = β ®F²x z 0(L) = −1
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x
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x
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x
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(
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, x≥ξ
C
y(x)z(ξ)
− C , x<ξ
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£¥²xª³f«rp²f¡)¦¬ Ã G(x, ξ) zª®F¦zª£²r£F²rÊl²rÀ¥®G¡z¿F R` £¥£5¿Fp Ã ¡rª£F¦z«_¡z£F²¡£ ´ ¶_zmµl½ ´ ¶r ¸fµ ªÀFz¿F²¤T¬
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ª£F¦z«_¡)£¥²¤h£F«r²xxª ¡x®G¡®F¢r¢9m®Gz²ÐUr£F)p§ ¶_ ¸ ¤9¦£5¨ Ã ®Fª¨1¦¦®¥ªz²£¥«r®G²x®F¦¬_ªzª£G¯¡rz²T¿Fpaª
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0
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Rξ
e− 0 p(s)ds y(x)k(ξ), x < ξ
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Ux¯~£¥¦¦z£5¨z²rÀ ¯=®F j¡¨z¦¦¤9«xªz²£¥«r®G²9®G¦z¬Tªª1£F¯;¡)rz²f¿¥paªo
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C0
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k(x) = k(x; q), y(x) =
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£¥²¡xz²f¡p)¿5®G¦ [0, L]. F£ ¡£F¯@¡rmªo¯~«r²x ¡z£F²xªU®F¡)r.ªom £F²9 £T£Fa_z²x®5¡)£G¯Bªo£¥¦«_¡)£¥²xªE¡)£ ®F²z²r±¡)z®F¦
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kV0 k ≤ 1 + 1/β.
£F¯ q(x). £ªo¡)®G¤x¦ªo®¤9£¥«r²x¯~£F y(x; q), z²f¡ÀFa®5¡¡r._°h²¥¡)z®F¦xm³¥«9®5¡z£F²¯~£¥§ 0 ¡)£ x ®G²x¡)® ¥
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x
1
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β
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0
Z
x
(kpk + C0 + 1) kV (s)k ds.
0
x ∈ [0, L],
Z L
1
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kV (x)k ≤ (1 + ) exp
(kpk + C0 + 1) ds ≡ C
β
0
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u(0, t) = µ(t), 0 ≤ t ≤ T
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¨r k(x) ª®Fª²¡)r_ª) «xª)ªoz£F²¢r) p_z²rÀ¡xzª¡r£F)p§
u(x, t)
v(x, t) = u(x, t) − µ(t)k(x),
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e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ, (x, t) ∈ QT
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v(0, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T
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v(L, t) + βvx (L, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T.
¢r¢r¦z¬ ´ ¶_]ºFµ ¡£ v(x, t) ®G²x)p¢x¦z®¥ v(x, t) ¤T¬ u(x, t) − µ(t)k(x) ¡££F¤_¡a®Gz²¡x®G¡!¡x¤h£F«r²xx®G)¬¿5®G¦z«r
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¢x£¥¤r¦§ ´ ¶r Fµl½ ´ _¶ ¥µ ª³f«rz¿5®G¦zp²f¡U¡£¡x²f¡ÀFa®G¦J³f«x®G¡z£F²
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X
u(x, t) = µ(t)k(x) +
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Z
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0
u(x, t) = f (x, t) +
Z tZ
L
Z
L
K(x, ξ)γq(ξ)
0
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e−γ(t−τ )u(ξ, τ ) dτ dξ,
0
e−γ(t−τ )K(x, ξ)γq(ξ)u(ξ, τ ) dξ dτ,
¨ xp) f (x, t) = µ(t)k(x) + R L K(x, ξ)F (ξ, t) dξ. ¬ ¡r
²r£F²rÊl²rÀ¥®G¡z¿f¡d¬£G¯ F (x, t), µ(t), k(x) ®G²x
¡)r Fp)²r¦ K(x, ξ), ¨1ªp¡)0x®5¡ f (x, t) zª ®A²r£F²_Ê¼²rÀ¥®5¡)¿¥¯~«r²x ¡z£F² Ux_£¥«r¤r¦z*z²f¡pÀ¥)®G¡z£F²Ëz²
´ ¶_z¸fµ ¬fzp¦rª®F²²f¡ÀFa®G¦rm³f«x®5¡)£¥²£F¯E£¥¦±¡)p))®¡d¬T¢h¯~£FE¡)r¯~«r²9 j¡z£F² u(x, t). ` £F)p£5¿¥p Ã ¡rz²f¡ÀFa®G¦
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rp)¿5®5¡)¿¥ª Ft(x, t) ®F²x µ0(t), ¡r²¨1£F¤_¡a®Gz²¯~£¥§ ´ ¶rm¸¥µ ¡)x®5¡ u(x, t) x®Fª p£F²f¡z²T«r£F«9ª_p)z¿3®G¡z¿F
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ªo£¥«ra Êl¯~)p ®Fª »O²¡x¯~£¥¦¦z£5¨²xÀ%mªo«x¦±¡ Ã ¨#«9ªo
¡)r¯~«r²9 j¡z£F² k(x) «xªom²¡)r p£F²xªo¡)«x j¡)£¥²£G¯J¡r W
p²!X ª7¯~«r²x ¡z£F²£F¯ ´ ¶_ Å¥µ ^ m p®F¦¦x¡x®G¡ k(x) > 0,
¯~£¥ 0 ≤ x ≤ L.
IN)CQJLN)T
C
!V6V
FH3
β, γ
+
q(x)
,"))@I"P
J#1)*5/0RK$%)
1
6^/","K^L
F (x, t) = 0, µ(t)
];
];;
6+8213$U3!
R
J
@"E1)*5/0RK$%)(6-213$U![3,"E
Y
J3G
µ(t)k(x) ≤ u(x, t) ≤ max µ(t).
7
0≤t≤T
89:;
a_«r¢r¢h£¥ª.¡x®G¡#¯~£¥ª£F§
(x0 , t0 ) ∈ QT ,
u(x0 , t0 ) =
max u(x, t).
(x,t)∈QT
M4N],"K^
(x, t) ∈ QT
$$*)*3O"J
J.$%)*,"
u(x, t)
!
"$#%
&'()*
ª¡)¿T®G¦ Ã ªo£ªo«x¢r¢9£fªo u(x0, t0) > 0. Y )£F§ ´ ¶_ ¥µ ¨1 x®3¿F¡x®G¡
u(x0 , t0 ) = 0

¡
r

f
²

¡
p

¥
À

F
£
Ê¼r±°Jp)p²f¡®G¦h³f«x®G¡z£F²®5¡ (x0 , t0 ) ¬fzp¦rª
x0 > 0,
Ux ®Fª
X
0 = uxx (x0 , t0 ) − q(x0 )u(x0 , t0 ) + γq(x0 )
< uxx (x0 , t0 ) − q(x0 )u(x0 , t0 ) 1 − γ
Z
Z
x0 < L.
»¼¯
t0
e−γ(t0 −τ ) u(x0 , τ ) dτ
0
t0
e
−γ(t0 −τ )
dτ
< 0,
® £F²f¡))®¥_z ¡z£F² Urª!¢x£5¿¥ª7¡)x®5¡ x0 = 0 ®G²x u(x, t) ≤ µ(t0), ¨r aªo¡)®F¤r¦zzªrª¡r
«r¢r¢hp#¤h£F«r²x
£¥² u(x, t).
ª)®5¡ªoÍxª.¡)r¤h£F«r²9r®G)¬Ó¿5®G¦z«r
Y £F¡)r¦z£5¨1¤9£¥«r²x Ã £¥¤xªo¿¥ ¡x®G¡
¢x£¥¤r¦§©ÀFz¿F²¤T¬¡)rz²¥¡)pÀ¥£FÊ¼_°Jp)p²f¡v(x,
®G¦h³ft)«x®G=¡z£Fu(x,
² t) − µ(t)k(x)
−vxx + p(x)vx + q(x)v − γq(x)
Z
0
t
e−γ(t−τ ) v(x, τ ) dτ = γq(x)
Z
t
e−γ(t−τ )µ(τ )k(x) dτ
¡)£FÀ¥¡xp¨±¡)¤h£F«r²9r®G)¬| £¥²x_¡z£F²xª ´ 0¶r¥mµl½ ´ ¶r3¶Fµj aTz²x pÓ¡)r zÀFf¡0 x®G²xªo_È£G¯%¡)r ²f¡)pÀF)£GÊ
r±°Jp)p²f¡®G¦1³f«x®G¡z£F² zª²r£F²rÊl²rÀ¥®G¡z¿F Ã Urp£¥§ ¶r ¶ §®3A
¬ ¤9®G¢r¢r¦zzÈ¡£Ó¬fzp¦ v(x, t) ≥ 0, ¨r a
mªd¡a®G¤r¦zªormª#¡r¦z£5¨#pU¤9£¥«r²x£F² u(x, t).
ÇÈ²r£F¡¡)x®5¡®ªx®F¢hp«r¢x¢9¤9£¥«r²x ®G²¤9ªo¡)®G¤x¦ªox¨±¡)¡r®Fr_¡z£F²9®G¦}T¬T¢9£F¡rmªoªU¡)x®5¡
²x®F§p¦z¬¡x®G¡ u(x, t) ≤ µ(t) ¯~£¥ (x, t) ∈ QT . ÇÈ£F§¡¡r%_p¡)®F¦ª
µ0 (t) ≥ 0,
r¸ !.1W.x9J5.
ÇÈ p®G²AÀFz¿F®¯=®F)¦z¬D £F§¢r¦z¡) ®F²x®G¦z¬_ªoª£G¯¡)r_) ¡
¢x£¥¤r¦§ ´ ¥3µ Ê ´ F]ºFµÃ ªo«r¤r·d j¡.¡)£ª«r¡)®G¤x¦
p£F²xr±¡)£¥²xª£¥²¡r¢x®Ga®G§¡)paªU£G¯E¡)r%¢r)£F¤r¦zp§ ÇÈªx®G¦z¦§® F.¡x%¯~£F¦z¦z£5¨²rÀ®¥ªª«r§¢_¡)£¥²xª£¥²¡r
¢9®Ga®G§¡)paª1£F¯¡)r¢r)£F¤r¦zp§ ¡)r)£F«rÀ¥r£F«_¡U¡)rzªªom j¡z£F²
9<J <TUN ANJD CFIHG@ ?@SCFI>
´ mµ φ ∈ C[0, L] ®G²9 φ(x) > 0 ¯~£F x ∈ [0, L].
´ ¶Fµ c (x) ∈ C[0, L].
´ ¸¥µ U1r p£F²xªo¡)®F²¥¡aª D , γ ®F²x β ®G).¢9£fªo¡z¿F
´ ¹fµ µ ∈ C[0, L] ®G²9 µ1 zª²x£F²_Ê¼²rpÀf®5¡)¿¥£¥² [0, T ].
´ ºFµ µ ∈ C 1 [0, L], µ(0) = 0 ®G²x µ0 ªU¢9£fªo¡z¿F.£F² (0, T ].
´ Å¥µ µ0(t) − γ R t e−γ(t−τ )µ0 (τ ) dτ ≥ 0, ¯~£¥ 0 ≤ t ≤ T.
0
ÇÈ²x£G¡%¡x®G¡ £¥²x_¡z£F² Å ªª)®5¡)zªoÍx¯ Ã ¯~£¥pÄ_®F§¢r¦ Ã µ0(0) ≥ 0 ®G²9 µ00 (t) ≥ 0. ¬®
¡)£
¡)r_zm j¡¢r)£F¤r¦zp§ ´ Fzmµl½ ´ ¥ º¥µjÃ ¨1
§®F²®¢x®GzU£G¯;¯~«r²x j¡)£¥²xª u, a ∈ C[QT ] ª«x a¡)x®5¡ ux, uxx, at ∈
®F²x u, a ª£F¦z¿FE¡)r1m³f«x®5¡)£¥²xª ´ Fzmµ¼½ ´ ¥ º¥µj »O²£Fa_p;¡£ªo¡)®F¤r¦ª%¡x1pÄTªo¡p²9 1®F²x«r²xz³f«r²rª)ª
C[QT ]
£F¯B®ª£F¦z«_¡z£F²¡£ ¡x.r) ¡U¢x£¥¤r¦§ Ã ¨1.£F²x¦¬«9ªo.¢x®F)®F§ p¡# p£F²x_¡z£F²9ª Ê ¹xE¾ £5¨#p¿¥p Ã z²£¥)rp#¡£
¢x£5¿T_¤h£F«r²9rª
¯~£Fª£F¦z«_¡z£F²xª.®F²xÓ® £¥§ ¢9®G)zª£F²¡)rp£¥§ Ã ¨1®G¦ªo£m³f«r) ¢x®Ga®G§¡)p. £¥²x_¡z£F²xª
´ ºFµ ®F²x ´ Å¥µ
2=
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C
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u(x, t), a(x, t)
_
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H6-!R
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Y
J
"83@6-213$U!
J(
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)*"\3)
3$%)*,"
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ÇÈÍ9)ªo¡!) p®¥ªd¡E¡)r_z) j¡1¢r£¥¤r¦zp§®FªE¯~£¥¦¦z£5¨ª »O²f¡ÀFa®5¡ ´ F]¶Fµ ®F²x«xª¡xz²r±¡)z®F¦9 p£F²x_¡z£F²
´ F]ºFµ ¡ ££¥¤_¡)®F²¡9®5¡¯~£F®F¦¦ (x, t) ∈ Q ,
T
Z t
´ ¸rzmµ
a(x, t) = γφ(x)
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ.
0
»¼¯7¨#.ª«r¤xªo¡¡«r¡ ´ ¥ ¶¥µ ®G²x ´ ¸x3µ ²f¡£ ´ FzmµÃ ¨1.£F¤r¡)®Gz²¡rm³¥«9®5¡z£F²
89:;
7
c1 (x)ux + γφ(x)u − γ 2 φ(x)
Z
t
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ = D1 uxx .
5£ ¨ ¦z¡ c(x) = c1(x)/D1 ®G²9 d = γ/D1, ®F²x¡)rª³f«x®G¡z£F²¤9m £F§mª
Z t
´ ¸r]¶Fµ
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ = 0.
−uxx + c(x)ux + dφ(x)u − γdφ(x)
»¼¡!¯~£F¦z¦£5¨ª7¡)x®5¡!¡rr) ¡!¢r)£F¤r¦zp§ zª!³f«rz¿3®F¦²f¡E¡£¡)r0¢r)£F¤r¦zp§ ´ ¸x3µjÃ ´ ¸r]¶FµÃ ´ F ¸¥µ ®F²x ´ F ¹fµ Y )£F§
Uxp£F)p§ ¶_]¶ ¨#x®3¿¥¡x®G¡¡)rp)Ä_ªd¡aª®D«r²r³¥«x*²r£¥²_Êl²xpÀ¥®G¡z¿Fª£F¦z«_¡z£F² u(x, t) ¡£¡)r¢x£¥¤r¦§
´ ¸r]¶FµÃ ´ F ¸¥µ ®G²x ´ F ¹fµ ¨¡Ð £F²f¡)²T«r£¥«xª%_z¿5®5¡z¿Fmª u , u »¼¯¨#_pÍx²r a(x, t) «xªoz²rÀ ´ ¸rzmµÃ ¨#
£¥¤_¡)®F²Ó¡x®G¡ a ®G²x at ®F £¥²f¡z²f«x£F«xª² QT ®G²x a zª
x²r£¥²_xxÊ¼²rpÀf®5¡z¿F %¾ p²9 Ã u(x, t), a(x, t) zª¡)r
«x²rz³f«r Ã ²r£¥²_Êl²xpÀ¥®G¡z¿F.ªo£¥¦«r¡z£F²¡£ ¡r%r) ¡U¢x£¥¤r¦§
Ux
¤h£F«x²xªo¡)®G¤x¦ªox²Ur£F)p§ ¶r ¸ x®¥ª#¡r.¯~£¥¦¦z£5¨²xÀ ®F¢r¢r¦zz ®5¡z£F²¡£ ¡)r%_zm j¡¢r)£F¤r¦zp§
IN)CQJLN)T 6V !V u, a
[
C
J3
E
/)*!
ut ∈ C[QT ]
+
0
6J8!R343&+","J
M 2;
"E&P$%)*,"Q
"8a6-213$U!GL
(x, t) ∈ QT
µ0 (t)k(x) ≤ ut (x, t) ≤ max µ0 (t),
_
-
k(x)
","
7
89:;
Y
"EI
J.3$%)*,"
k(0) = 1
+
]; 4
0≤t≤T
p(x) = c(x), q(x) = dφ(x), H(x) = 0
k(L) + βk 0 (L) = 0.
£¥§ Ur£F)p§ ¶r ¶ ¨#
9®3¿F
ut ∈ C[QT ].
Ò ¤xªp)¿F¡9®5¡¯~£F
´ ¸r ¸¥µ
∂
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ = u(x, t) − γ
∂t 0
²] ®G¢r¢r¦z p®5¡)£¥²£F¯ ´ r¸ ¸¥µ ®G²9*z²f¡pÀ¥)®G¡z£F²¤f¬¢x®G¡)ªUªr£5¨|¡)x®50¡
Z
a_²x p
∂
∂t
µ(0) = 0
Z
Z
t
t
e
−γ(t−τ )
¨1.x®3¿¥¡)x®5¡
u(x, τ ) dτ = e
0
∂
∂t
Z
u(x, 0) = 0.
t
−γt
u(x, 0) +
Urp¯~£F) Ã
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ =
Z
t
t
Z
3,"E0"@N
1-)*5/0
(x, t) ∈ QT
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ.
t
e−γ(t−τ )ut (x, τ ) dτ.
0
e−γ(t−τ )ut (x, τ ) dτ.
5£ ¨ ª¡ v(x, t) = ut(x, t) Ã _°Jp)p²f¡®5¡) ´ ¸r]¶FµÃ ´ ¥ ¸fµ ®G²x ´ ¥ ¹Tµ ¨±¡)È)ª¢h j¡.¡)£ t, ®G²xA¨1£¥¤_¡)®F²
¡)x®5¡¯~£¥ (x, t) ∈ QT
Z t
´ ¸r ¹fµ
−vxx + c(x)vx + dφ(x)v − γdφ(x)
e−γ(t−τ ) v(x, τ ) dτ = 0
[
´ ¸r]ºFµ
´ ¸x Åfµ
0
0
0
v(0, t) = µ0 (t)
v(L, t) + βvx (L, t) = 0.
!
"$#%
&'()*
Uxp£F)p§ ¶_]¶ §¢r¦zzªU¡)x®5¡ v(x, t) = ut(x, t) ≥ 0 ¯~£¥ (x, t) ∈ QT . Ur£F)p§ ¶_ ¸ §®3¬¤9®G¢r¢r¦zz¡£
¡)£ ¬Tzp¦¡x®G¡ µ0(t)k(x) ≤ v(x, t) = ut(x, t) ≤ max0≤t≤T µ0(t) ¯~£¥ (x, t) ∈ QT .
v(x, t)
Y z²x®G¦z¦z¬ Ã ¡r*®¥r_¡z£F²x®F¦¢x®F)®F§ p¡% £F²9_±¡)£¥² Å zªªo«_Æ p²¥¡¡££F¤r¡)®Gz²Ë® £¥§¢x®G)zª£F²A¡xp£F)p§
;£p§¢r9®Fª .¡r%_¢9²x_²x %£F¯;¡)rª£F¦z«_¡z£F²£G¯7¡)r%_zm j¡¢r)£F¤r¦zp§ £F²¡x¯~«r²x ¡z£F² φ, ¨#¨¡
U
u(x, t) = u(x, t; φ), a(x, t) = a(x, t; φ).
IN)CQJLN)T
C
!V!V
"8b6851$U3!
ut (x, t; φ2 )
/)*!
M2;
T6J8!R3-"O"J
/-/,6"]N
φi , i = 1, 2.
F
3
u(x, t; φi ), a(x, t; φi )
φ1 (x) ≤ φ2 (x)
x ∈ [0, L],
1#R3$S)*O"QR
J
J3
ut (x, t; φ1 ) ≥
(x, t) ∈ QT .
«xªo¡D®Fª²¡xÈ¢x£T£G¯ £G¯Uxp£F)p§
ª)®5¡)zªoÍxmª*¡)r
¸x ¶rÃ ¨# x®3¿FÓ¡x®G¡
t) = ut (x, t; φ)
¤h£F«x²xr®G)¬ 5¿ ®G¦z«r ¢r)£F¤r¦zp§ ´ ¸r ¹fµl½ ´ ¸x Åfµj ¡ vi (x, t) = ut(x, t;v(x,

¦
o
ª
£
_

pÍx²r Vi =
φi ), i = 1, 2. ]
R t −γ(t−τ )
®G²x W = V1 − V2. »¼¡¯~£F¦z¦£5¨ª*¯~)£F§ ´ ¸x ¸fµ ¡)x®5¡
e
vi (x, τ ) dτ, i = 1, 2, w = v1 − v2
0
¡)rÀF£5¿¥p)²rz²rÀ_°Jp)p²f¡®G¦@m³¥«9®5¡z£F²§®3¬¤h¨¡o¡)p²²¡)r
¯~£F)§ª
7
89:;
B
a_«r¤_¡a®F ¡U¡rmªom³¥«9®5¡z£F²9ª#¯~£F
−(vi )xx + c(x)(vi )x + dφi (x)(Vi )t = 0.
v1 (x, t)
®G²x
v2 (x, t)
®G²x)®G)a®G²rÀ¥¡§ª#¡££¥¤_¡)®F²
−wxx + c(x)wx + dφ1 (x)Wt = d(φ2 (x) − φ1 (x))(V2 )t .
»¼¡1¡rp¯~£F)ª«_Æ ª¡£ ªor£5¨Ð¡)x®5¡ (V2 )t ª1²r£F²_Ê¼²rÀ¥®5¡)¿¥ Ã ªz²x
®G²®G¢x¢r¦ p®G¡z£F²£F¯Urp£¥§ ¶r ¶ ¡)rp²
ªr£5¨ª1¡9®5¡ w(x, t) ≥ 0, ®¥ªUm³f«r)
a_²x p
ª
®ª£F¦z«_¡z£F²Ó¡£ ´ ¸x ¹Tµ ¨¡
®G²xD¤h£F«x²xr®G)¬D £¥²x_¡z£F²xª ´ ¸r]ºFµl½ ´ ¸x ÅfµjÃ
¡ªm®Fª¦zv¬È2 (x,
ªpt)² ¡x®G¡ V2 ª®G¦ª£D®ªo£¥¦«_¡)£¥² ¡φ(x)
£ ´ ¸r ¹f=µ φ¨2(x)
¡ φ = φ2 ®G²9È¡r* p£F²xr±¡)£¥²xª V2 (0, t) =
R t −γ(t−τ ) 0
®F²x V2 (L, t) + β(V2 )x(L, t) = 0. Ò ¤xªo¿¥¡)x®5¡
e
µ (τ ) dτ
0
0
(V2 )t (0, t) = µ (t) − γ
Z
t
e−γ(t−τ )µ0 (τ ) dτ ≥ 0,
¨xp)¡)r¦®Fªo¡²rm³f«x®G¦z±¡d¬¯~£F¦z¦£5¨ª#¯~)£F§©¢9®Ga®G§¡)p £¥²x_¡z£F² År »¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ª1¯~£¥§ Ur£F)p§ ¸x ¶ ¡)x®5¡
¨r a £¥§ ¢x¦p¡ª#¡)r¢r)£T£G¯
(V2 )t (x, t) ≥ 0,
¹9 6.Aa I.x . J 5%. ¹9¥ F NJL< ACQJA6 CQJ TEG:S< A@SCF C GNO J CQPG:=N)T V W
z¿Fp²Îr®G¡)® g(x) x ∈ [0, L], ¨#_Í9²r*®
¡£ ¡)r.²T¿F)ª
¢r£¥¤r¦zp§ ´ »OÁ µjÃ ®¥ªUÀFz¿Fp²
² aTm j¡z£F² FÃ ¡)£¤9® ¢9£fªo¡z¿F p£F²f¡z²T«r£F«xª1¯~«r²9 j¡z£F²
ª«x a¡)x®5¡1¡r
_zm j¡1¢x£¥¤r¦§ ´ Fzmµ Ê ´ F]ºFµ x®¥ª!ª£F¦z«_¡z£F² u(x, t) ª®G¡ªd¯~¬Tz²rÀ ´ ¥ Åfµj ÇÈ
φ(x), x ∈ [0, L],
Í9)ªo¡#²x£G¡¡x®G¡1¡)r.r®5¡a® g(x) £G¯ ´ F Å¥µ §«xªo¡®G¦ªo£ ª®G¡ªd¯~¬ ¡x¤h£F«r²9r®G)¬ £F²9_±¡)£¥²xª g(0) = µ(T ) ®F²x
ªoz²x u(x, T ) ª®G¡ªdÍxmªU¡xª% £F²9_±¡)£¥²xª ` £¥£5¿F Ã ¡zª ¦z®F¡x®G¡ g(x) §«xªo¡
g(L) + βg 0 (L) = 0,
9®3¿F.® £F²f¡)²T«r£¥«xªUªom £F²9_z¿5®5¡)¿¥
Uxz²T¿Fpaª¢r)£F¤x¦§© p®G²¤9.pÄT¢xmªª*²¡§ª#£G¯7®G²*£¥¢9)®G¡£¥1m³¥«9®5¡z£F²®Fª1¯~£¥¦¦z£5¨ª aTp¡ t = T
z² ´ ¸x ¶¥µ ®F²x«xª ´ F Å¥µ ¡££¥¤_¡)®F²
J>
J>
0
.>9C
3$%)*O"
00
0
g (x) − c(x)g (x)
= dφ(x)u(x, T ) − γdφ(x)
= dφ(x)
Z
T
Z
T
e−γ(T −τ )u(x, τ ) dτ
0
e−γ(T −τ )ut (x, τ ) dτ,
0
!
"$#%
&'()*
£¥
φ(x) =
g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
.
RT
d 0 e−γ(T −τ )ut (x, τ ) dτ
ÇÈ.ªo¯~£¥§ ¡rª#³f«x®5¡)£¥²¡x®G¡1¡)r.r®5¡a®.¯~«r²x ¡z£F² g(x) ªr£F«x¦zª)®5¡)zªo¯~¬ g00(x) − c(x)g0 (x) > 0 ª²9
®F²x ut(x, t) ®G)¢9£fªo¡z¿F Ã ;£ªo«x§ §®F p Ã ¡r¢r£¥¢9o¡)mª7¡9®5¡1®%x®5¡)®
¯~«x²x j¡)£¥² g(x) §«9ªd¡!9®3¿F
φ(x)
®F¥Â
( < ?<ÎD CFIHG@ ?@SCFI>
´ mµ g(x) ∈ C 2[0, L] ®F²x g(x) ª®¢h£¥ª¡z¿F
¯~«r²x ¡z£F²
´ ¶Fµ g(0) = µ(T ) ®G²9 g(L) + βg0(L) = 0.
´ ¸¥µ g00(x) − c(x)g0 (x) ∈ C[0, L] ®G²xª®¢9£fªo¡z¿F
¯~«r²x ¡z£F²£F² [0, L].
ÇÈ%®Fª)ª«r§¡)r.¯~«r²x ¡z£F² g(x) ª)®5¡)zªoÍxªx®5¡)® p£F²x_¡z£F²9ª Ê ¸ ®F²x_Íx²x¡)r£F¢hpa®5¡)£F A ¤T¬
´ ¹xzmµ
g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
Aφ = R
,
*>
>
d
T
0
e−γ(T −τ )ut (x, τ ; φ) dτ
¨xp) u(x, t; φ) zª7¡)rª£F¦z«_¡z£F²£G¯h¡x_) ¡¢r)£F¤r¦zp§ ´ Fzmµ Ê ´ F]ºFµ ¯~£F¡rÀ¥¿¥p² φ(x). »¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ªB¡x®G¡
¯B¡r.¯~«r²9 j¡z£F² φ(x) zª® ª£F¦z«_¡)£¥²*¡)£¡)rz²f¿¥paªo
¢r)£F¤r¦zp§ Ã ¡)rp²
´ ¹x]¶Fµ
φ = Aφ.
£\ ¥²T¿Fpaªp¦z¬ Ã ªo«r¢x¢9£fªo
¡9®5¡ φe ª® ¢h£¥ª±¡)¿¥. p£F²f¡z²T«r£F«9ª#ª£F¦z«_¡)£¥²*¡)£ ´ ¹x]¶Fµ Urp²
00
0
g (x) − c(x)g (x)
a_²x p¤9£F¡
e
e − dφ(x)γ
e
= dφ(x)u(x,
T ; φ)
Z
T
0
e dτ
e−γ(T −τ )u(x, τ ; φ)
e − c(x)ux (x, T ; φ).
e
= uxx (x, T ; φ)
®F²x
ª ®G¡ªd¯~¬Î¡)rDª)®G§¤9£¥«r²xr®F¬ p£F²xr±¡)£¥²xª Ã ±¡¯~£¥¦¦z£5¨ª ¡9®5¡
ª®ª£F¦z«_¡z£F²¡£¡)r.²T¿F)ª.¢r)£F¤r¦zp§
e
e ªo£¡x®G¡ φ(x)
u(x, T ; φ)
g(x)
e
u(x, T ; φ)
g(x) =
¹9 ¶r OJLC NJ A@=N> C GN NJ < ACQJ V Ur£¥«rÀFx£F«_¡¡)rzª
ª j¡)£¥² Ã ¨1ªx®F¦¦7®Fª)ªo«x§ %¡x®G¡¢x®F)®F§Ê
p¡% £F²9_±¡)£¥²xª ¶ Ê Å r£F¦ ÇA²x£5¨ Är®F§ z²rª£F§¢x£¥¢9o¡)mª.£G¯!¡)r£F¢hpa®5¡)£F A. »¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ª¯~£¥§
Uxp£F)p§ ¸r]¶ ¡)x®5¡¯~£¥®¢h£¥ª¡z¿F φ(x),
´ ¹x ¸¥µ
g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
Aφ = R
≥ R
≡ h(x)
^>
¨xp)
>9C
*>
d
T
0
e−γ(T −τ )ut (x, τ ; φ) dτ
T
0
ÇÈ%_pÍx²r
µM = max0≤t≤T µ0 (t).
d
e−γ(T −τ )µM dτ
E = {φ(x) ∈ C[0, L] | φ(x) ≥ h(x), x ∈ [0, L]}.
U xp² E ⊂ P, ¡rDª¡£G¯
¢9£fªo¡z¿F¯~«r²9 j¡z£F²9ª² C[0, L]. Ur)£F«xÀFr£¥«_¡¡)r¯~£F¦z¦z£5¨²rÀ Ã ¨#«xªo¡)r
´ ªp Ã ¯~£F
«x²r±¯~£¥§ ²r£¥§ª k·k z² C[0, L] ®G²x C(QT ). UrD£¥¢9)®G¡£F A zªª®FzÐ¡)£Ë¤9
pÄr®G§¢r¦z Ã Ï ¹9Ã ¢ º xÑ~µ ¯ Ã ¯~£¥¯~«r²9 j¡z£F²9ª φ(x) ®F²x Ψ(x) z²¡)r_£¥§®Gz²D£G¯ A ¨±¡) φ(x) ≤ Ψ(x) ¯~£F
¨1x®3¿F Aφ(x) ≤ AΨ(x) ¯~£¥ x ∈ [0, L]. Ux²rpÄT¡¡d¨#£¡r£F)p§ªÄ_rz¤r±¡¡r ª)ªp²f¡®G¦
x ∈ [0, L],
¢x£¥¢9o¡)mªU£G¯¡)r£F¢hpa®5¡)£F A.
!
4
W
6V QV
IN)CQJLN)T
C
O
Y
J-684
A:P →E
N2"K^3P10
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RO"))@
+G!
+.-6383;
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89:;
Y
§²¥¡aª£G¯
´ ¹x ¹fµ
ª£ ¡x®G¡
z)ªo¡.£F¤xªp)¿F.¡)x®5¡.¤T¬¡r ²x³f«x®G¦z¡d¬ ´ ¹x ¸¥µ ¡r £F¢hpa®5¡)£F
z²f¡£ ¡x%ªop¡ E. pÍx²r
C[0, L]
A
_£Tªz²x_pmD§®G¢Ó¢9£fªo¡z¿F p¦zÊ
Bφ =
Z
T
e−γ(T −τ )ut (x, τ ; φ) dτ,
0
Aφ =
g 00 − cg 0
d
1
Bφ
.
5£ ¨ Aφ ª¤9£¥«r²x_m®F²x¤9£¥«r²x_m®3¨U®3¬¯~)£F§ p)£ ª²9 ¤T¬*Ur£F)p§ ¸x ¶rÃ
Z T
Z T
´ ¹x]ºFµ
−γ(T −τ ) 0
e−γ(T −τ )µM dτ,
e
µ (τ ) dτ ≤ Bφ(x) ≤
0 < k(x; φ)
0
0
¨xp)%¡x%Íxaªd¡
²x³f«x®G¦z¡d¬ª
ªd¡) j¡
¤f¬¢x®F)®F§ p¡ £¥²x_¡z£F² ºr Urp¯~£F) A ª
£F²f¡)²T«r£¥«xª¯ B ª
p£F²f¡z²T«r£F«9ª ` £¥£5¿Fp Ã ªoz²x
¡)r²f¡)pÀFa®G¦J£¥¢9)®G¡£F Iψ = R T e−γ(T −τ )ψ(x, τ ) dτ ª ¦z®F¦z¬* £¥²f¡z²_Ê
«x£F«xªUz²¡r«r²x±¯~£¥§©²x£F)§ Ã ¡ª«_Æ ª¡£ªox£5¨|¡9®5¡¡x£F¢h0pa®5¡£¥ Cφ = ut(x, T ;φµ zª p£F²f¡z²T«r£F«xª
¡ vi (x, t) = ut(x, t; φi ), i = 1, 2, ®F²xÎ¦z¡ w(x, t) = v1 (x, t) − v2 (x, t). ®F a vi ªo£¥¦¿¥ª¡r
¤h£F«x²xr®G)¬¢r)£F¤r¦zp§ ´ ¸x ¹Tµ Ê ´ ¸x Åfµ ¨¡ φ = φi . aT«r¤_¡))®¥ j¡
¡rmªo _±°Jp)p²f¡)z®F¦Bm³f«x®5¡)£¥²xª®F²x)®Fa®G²rÀ¥
¡)p)§ª#¡££F¤r¡)®Gz²
[
B
−wxx + c(x)wx + dφ1 (x)w − γdφ1 (x)
Z
t
e−γ(t−τ )w(x, τ ) dτ = F (x, t),
¨xp)
Z t
´ ¹x Å¥µ
F (x, t) = γd(φ1 (x) − φ2 (x))
e−γ(t−τ )v2 (x, τ ) dτ − d(φ1 (x) − φ2 (x))v2 (x, t).
0
ª®G¡ªdÍxmªBr£F§£FÀ¥p²r£F«xª;¤h£F«r²xx®G)¬% £F²9_±¡)£¥²xª ´ ¸x º¥µ ®F²x ´ ¸r Å¥µ ] ª7z²&aT ¡z£F² ¶rÃ
Y «r¡r§£F) Ã
w(x, t)
¨#.£F¤_¡a®Gz²*¡)x®5¡ w(x, t) ª®G¡ªdÍ9ª®G²z²f¡pÀ¥)®F¦J³f«x®5¡)£¥²£F¯¡)r.¯~£F)§
´ ¹x Gµ w(x, t) = Z L K(x, ξ; φ )F (ξ, t) dξ + Z t Z L K(x, ξ; φ )γdφ (ξ)e−γ(t−τ )w(ξ, τ ) dξ dτ,
1
1
1
0
0
0
¨xp) K(x, ξ; φ1 ) ª® £¥²f¡z²f«x£F«xªh¯~«r²9 j¡z£F²£¥²
¡rª)³f«x®G) 0 ≤ x, ξ ≤ L. ¡ KM = max0≤x,ξ≤L |K(x, ξ; φ1 )| ,
®G²9 W (t) = kw(·, t)k ª£¡x®G¡!¨#£F¤r¡)®Gz²¯~)£F§ ´ ¹x Å¥µÃ ´ ¹x Gµ ®F²xUr£F)p§ ¸r]¶
µM = max0≤t≤T µ0 (t)
¡)x®5¡
0
%V
B
%V
W (t) ≤ LKM dµM (γT + 1) kφ1 − φ2 k + LKM γd kφ1 k
»¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ª1¯~£¥§ W )£F²T¨U®G¦z¦=X ª!z²rm³¥«9®G¦z±¡d¬¡)x®5¡
Z
t
W (τ ) dτ.
0
W (t) ≤ LKM dµM (γT + 1) kφ1 − φ2 k eLKM γdkφ1 kt ,
¯~)£F§ ¨ rz a¡)r% £¥²¥¡)²T«r¡d¬£F¯ B ®G²9¡)rp)¯~£¥ A, ¯~£¥¦¦z£5¨ª
;£ªo¡)®F¤r¦zzª¡r§£F²x£G¡£¥²r ¡d¬*£G¯ A, ®G¢r¢x¦¬Urp£¥§ ¸r ¸ ¡££¥¤_¡)®F²¡9®5¡¯ φ1 (x) ≤ φ2 (x) ¡)rp²
Uxp)¯~£F) Ã
ut (x, t; φ1 ) ≥ ut (x, t; φ2 ).
Z T
Z T
´ ¹x ¥µ
e−γ(T −τ ) ut (x, τ ; φ2 ) dτ ≤
e−γ(T −τ ) ut (x, τ ; φ1 ) dτ.
£F¡Ë¡)p)§ª ®F¢h£¥ª±0¡)¿¥¤T¬ ´ ¹9 º¥µj ;® F*) p¢x£_ p®F0¦zª Ã §«x¦±¡)¢r¦z¬Ë¤T¬ ¡x¢h£¥ª¡z¿F¯=®F j¡)£F (g00(x) −
®F²x*§£¥²r£G¡)£F²r ¡d¬¯~£F¦z¦z£5¨ª Ã ¨r a £F§¢r¦z¡)ª#¡)r¢r)£f£F¯
c(x)g 0 (x))/d
<
W
2=
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C
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A:P →E
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10
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3O
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"&\3)*","))@
333;
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¨xp)
rÍx²r
ÇÈ% £¥²xªz_® ¤9£¥«r²x_mª¡£F¯;¯~«r²9 j¡z£F²9ª
P0 = {φ(x) ∈ C[0, L] | 0 < φ(x) ≤ φ0 (x), x ∈ [0, L]}
ª#® £¥²¥¡)²T«r£¥«xª!¯~«r²x j¡)£¥² p ¡ 0 ≤ x1 , x2 ≤ L. Í9²r
¡r
£F¢hpa®5¡)£F
ª£ ¡x ®G¡ Aφ = r/Bφ. »¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ª#¡9®5¡
φ0 (x)
r(x) = (g 00 (x) − c(x)g 0 (x))/d,
Aφ(x1 ) − Aφ(x2 ) =
B
B
®¥ª!z² ´ ¹x ¹fµ ®G²x
(r(x1 ) − r(x2 ))Bφ(x2 ) + r(x2 )(Bφ(x2 ) − Bφ(x1 ))
.
Bφ(x1 )Bφ(x2 )
Uxp)!ªB®
£¥²xªo¡)®G²f¡ C1 > 0 z²x_¢9²x_²¥¡E£F¯ x ®G²x φ ªo«x a¡x®G¡ Bφ(x1 )Bφ(x2 ) > C1 ®G²x® p£F²xªo¡)®F²¥¡
ª«x a¡)x®5¡ φ(x) < C2 ¡9®G² _ª¡£ ´ ¹x]ºFµj p¡ ωr (h) ¤h%¡x§£__«r¦z«xª£F¯! £¥²¥¡)²T«r¡d¬£G¯ r(x)
C2 > 0
®F²x¨1£¥¤_¡)®F²¡x®G¡
´ ¹x ¥µ
ωr (|x1 − x2 |)C2 + krk |Bφ(x2 ) − Bφ(x1 )|
|Aφ(x1 ) − Aφ(x2 )| ≤
.
C1
ÇÈ%ªx®G¦z¦}ªox£5¨|¡9®5¡¯~£F®F²T¬ φ ∈ P0 ¡r.Ä_ªd¡aª® £F²9ªd¡a®G²f¡ C3 ª«x a¡x®G¡
J=
<
B
X
|Bφ(x2 ) − Bφ(x1 )| ≤ C3 |x2 − x1 | .
UxzªU¯=®¥ j¡ Ã ¡£FÀ¥¡)rp¨¡ ´ ¹9 fµjÃ mªd¡a®G¤r¦zzªrmª#¡r.¡)rp£¥§
»¼¡¯~£F¦z¦£5¨ªU¯~)£F§ ¡r¢r£T£F¯=ª£G¯Ur£F)p§ ¸x ¶ ®F²xUrp£¥§ ¶r ¶ ¡)x®5¡ v(x, t) = ut(x, t; φ) ª®G¡ªdÍ9ª
¡)rz²¥¡)pÀ¥)®F¦hm³f«x®5¡)£¥²
Z tZ L
´ ¹xz fµ
v(x, t) = f (x, t) +
e−γ(t−τ )K(x, ξ; φ)γdφ(ξ)v(ξ, τ ) dξ dτ,
0
0
¨xp) f (x, t) = µ0 (t)k(x). ¿5®F¦«x®G¡ ´ ¹9 ¥µ ®5¡ x = x1, x2 ®F²xª«r¤_¡))®¥ j¡U¡££¥¤_¡)®F²
X
v(x1 , t) − v(x2 , t) = µ0 (t)(k(x1 ) − k(x2 )) +
Z tZ L
e−γ(t−τ )(K(x1 , ξ; φ) − K(x2 , ξ; φ))γdφ(ξ)v(ξ, τ ) dξ dτ.
´ ¹xzFmµ
»¼¯ ξ zªU¤h¡d¨#p²
®G²x
x1
0
0
#
¨
.

§
3
®
*
¬
¨¡
x2 ,
K(x1 , ξ; φ) − K(x2 , ξ; φ) = K(x1 , ξ; φ) − K(ξ, ξ; φ) + K(ξ, ξ; φ) − K(x2 , ξ; φ).
UT«xªU¨#% p®F²®F¢r¢r¦z¬¡x§ m®G²¿5®G¦z«r
¡r£F)p§ ¡)£®¥ a*¡)p)§ Ã ®FªU¨#p¦z¦}®Fª#¡£ )¡ r¡§ k(x1 ) − k(x2 ).
p§§® ¶_z ¬Tzp¦rª® «r²r¯~£F)§©¤9£¥«r²x Cb0 £F²¡r
¯~«r²x ¡z£F²xª Kx(x, ξ; φ) ®F²x k0(x) z²x_¢9²x_p²f¡£G¯ φ.
¡ µM = maxt∈[0,T ] µ0(t) ®F²x C = kφ0 k B® ¥.®F¤xª£F¦z«_¡.¿5®G¦z«rªU£F¯ ´ ¹xzFmµ F® ²x¨1.£F¤r¡)®Gz²
B
=
B
|v(x1 , t) − v(x2 , t)|
»¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ª1¡x®G¡
b0 |x1 − x2 | +
≤ µM C
Z
t
0
b0 |x1 − x2 | γdCµM L dτ
2C
b0 µM (1 + 2γdCLT ) |x1 − x2 | .
≤ C
|Bφ(x1 ) − Bφ(x2 )| ≤
Z
T
e−γ(T −τ ) |v(x1 , t) − v(x2 , t)| dτ
0
b0 µM (1 + 2γdCLT ) |x1 − x2 | ,
≤ TC
÷)÷
!
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&'()*
¨ xz a £¥§ ¢x¦p¡ª¡r¢r)£T£G¯
¹9 ¸x OJLC NJ A@=N>_C!C:SE A@=CQFG>
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G> Z>9C
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6J8!R343G+","J
3"
"O"R##"K3
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φ0 (x) ∈ C[0, L]
*"-
_
6+8213$U3!
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RJK^
-La
J3
R+-/M
3$S)*O"
"EG(
J38R 5"E/
Aφ0 (x) ≤ φ0 (x), 0 ≤ x ≤ L.
»¼¯ ´ »OÁ µ x®Fª® ª£F¦z«_¡z£F² φ(x) Ã ¨1x®3¿¥®F¦)®¥_¬ ² ´ ¹x]¶Fµ ¡x®G¡ Aφ = φ ®F²x¨#§®3¬Î¡)® F
£¥²f¿¥paªo¦¬ Ã ª«r¢r¢h£¥ª¡9®5¡*¢h£¥ª±¡)¿¥D £¥²¥¡)²T«r£¥«xª ¯~«r²x ¡z£F² φ0 (x) ª®G¡ªdÍ9ª¡)rDz²r³f«x®F¦¡d¬
φ0 = φ. \
¬ ´ ¹9 ¸fµ ¨#*x®3¿¥¡9®5¡ ¯~£F®G²T¬A¢h£¥ª¡z¿F φ(x) ®G²x x ∈ [0, L], h(x) ≤ Aφ(x).
Aφ0 (x) ≤ φ0 (x).
£¥²xª³f«rp²f¡)¦¬ Ã ¡r§£F²x£G¡£¥²r ¡d¬£G¯ A §¢r¦zmªU¡9®5¡ A §®F¢xª#¡x£Fa_pz²f¡p)¿5®G¦
\
89:;
7
2=
<
I = {φ(x) ∈ C[0, L] | h(x) ≤ φ(x) ≤ φ0 (x), 0 ≤ x ≤ L}
z²f¡£¡)ªp¦¯ ¬Ur£F)p§ª ¹xz ®F²x ¹x]¶ ¡r£¥¢9)®G¡£F A : I → I ª® £¥²¥¡)²T«r£¥«xªU§£F²r£F¡£¥²r £F§¢x®¥ j¡
£¥²f¿¥p)ÀFmª
£¥¢9)®G¡£¥ »¼¡.¯~£¥¦¦z£5¨ª ´ ªpÏ ¹9Ã ¢ º rpÑWµ ¡x®G¡.¡rª³f«rp²9 £G¯!¡)®G¡mª
2
¡)£®ÍxÄTm¢h£Fz²¥¡ φ £G¯ A, ¨r aD®Fª¨#9®3¿F%ªpp²Ó²¡)rz²f¡)£__«x j¡)£¥²φ£G¯E0 ,¡)Aφ
rzª
0ª,A j¡)φ£¥0² ,Ã . §. . «xªo¡
ª)®5¡)zªo¯~¬
<
W
u(x, T ; φ) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
ª«_Æ zp²f¡ £¥²x_¡z£F²¯~£FU¡)rÄ_ªd¡)p²x p£G¯B®ª£F¦z«_¡z£F²ªÀFz¿F²¤T¬¡)r.¯~£F¦z¦£5¨z²rÀ mªo«x¦±¡
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89:;
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φ0 ,
M &8I3O"E
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g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
≤ φ0 k(x; φ0 )
RT
d 0 e−γ(T −τ ) µ0 (τ ) dτ
¬*Uxp£F)p§ ¸r]¶
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6+8-63/O"
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J"K3(6-213$U!
Aφ0 =
2MR&2
RT
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7
$%)*,";
µ0 (t)k(x; φ0 ) ≤ ut (x, t; φ0 ),
g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
e−γ(T −τ ) ut (x, τ ; φ0 ) dτ
≤
d
¯~)£F§ ¨rz a¡¯~£F¦z¦£5¨ª#¡)x®5¡
RT
g 00 (x) − c(x)g 0 (x)
e−γ(T −τ ) µ0 (τ ) dτ k(x; φ0 )
≤ φ0 .
0
¾ p²x p%Urp£¥§ x¹ ¸ ®G0¢r¢r¦zzª
Ux¯~£¥¦¦z£5¨z²rÀ \ F£ )£F¦z¦z®F¬ªU«xªop¯~«r¦@¯~£¥ £F§¢r«r¡)®5¡)£¥²x®G¦@¢x«r¢h£¥ªª
DCQJ CQ:=:S<JLK IV!V
aa"K^33
KON]IR3$%)*,"Z'
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7
TJ
(3$%)*O"JL
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Ja3\)3T'a"438
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h, Ah, A2 h, . . .
zª ®Óª£F¦z«_¡)£¥² Ã ¡xp² φ ª®ÍrÄ_mË¢h£Fz²¥¡£G¯ A ®G²x Ã ®Fª²ÐUrp£¥§ ¹x ¸rÃ ¨#*x®3¿¥¡9®5¡
£F²xª³f«r²¥¡)¦¬ Ã ¡r ±¡)pa®5¡)ª Anh ®F ®G¦z¦7¤9£¥«r²x_mD¤T¬ φ ®G²9Óª£*¤T¬¡r £¥§¢x®F ¡²rmªª
h(x) ≤ φ(x). \
®F²x§ £¥²r£G¡)£F²r ¡d¬£F¯ A, ¡r.¡)®G¡ª p£F²T¿FÀ¥¡)£® ª£F¦z«_¡)£¥²£F¯ ´ »OÁ µj
»¼¡1zª1 £F²9 pz¿5®G¤r¦zU¡9®5¡¡)r¡pa®5¡)ªE£F¯J¡r¦®Fªo¡1 p£F)£F¦z¦z®F¬§zÀFf¡1 £¥²T¿Fp)ÀF1¡£®ªo£¥¦«_¡)£¥²
¡)x®G²
¡)r%ª£F¦z«_¡z£F² φ. ¾ £5¨#p¿¥p Ã ¨#ªox£5¨|¡9®5¡U¡rªª²r£F¡#¡)r% p®¥ªo Ã ªoz²x p.ª£F¦z«_¡)£¥²xª#¡£ ´ »OÁ µ ®G).«r²r³¥«x
IN)CQJLN)T IV
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φ
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C
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3
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5M .+.24G"O"J
M #8(3,"E
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J3
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®G²x φ2 ®G)¡d¨#£_ªd¡)²9 j¡#ª£F¦z«_¡)£¥²xª¡)£ ´ »OÁ µjÃ ¡9®5¡1ª Ã ¯ ui(x, t) = u(x, t; φi ),
φ1
¡

²
ª¨#ª®3¨®F¦z Ã ±¡ª®F¦zª£¡x p®¥ªo.¡)x®5¡ Aφi = φi , i = 1, 2.
i = 1, 2,
u1 (x, T ) = u2 (x, T ). ]
Uxp).®F
¡d¨#£¢9£fªªz¤r¦z¡zªÂEp¡r£F²r.¯~«x²x j¡)£¥² Ã ª)®3¬ φ1 , ª¤h£F«r²9_®G¤h£5¿F.¤T¬ φ2 £¥²*¡)r%z²f¡p)¿5®G¦
£¥ φ1(x) − φ2 (x) x®Fª ¤h£G¡Ð¢h£¥ª±¡)¿¥®G²9Ë²rÀ¥®5¡)¿¥¿5®F¦«rmª »O²¡rª p£F²xË ®Fª Ã ¯~£¥§ ¡)r
[0, L],
¯~«x²x j¡)£¥²
7
89:;
a_«r¢r¢h£¥ª¡9®5¡
φ3 (x) = min{φ1 (x), φ2 (x)}.
U xp² φ3(x) ≤ φ1 (x) ®F²x φ3 (x) ≤ φ2 (x) £¥²%¡x#z²f¡¿5®G¦ [0, L], ª£¤T¬§£F²x£G¡£¥²r ¡d¬
£F¯ A, Aφ3 ≤ φ3 .
»¼¡
¯~£F¦z¦z£5¨ª¯~)£F§É¡x¢r)£T£G¯£F¯1Urp£¥§ ¹9 ¸ ¡x®G¡¡)r ±¡)pa®5¡mª φ3 , Aφ3 , A2φ3 , . . . ¯~£¥§ ®_ pm®Fª²xÀ
ª³f«r²x £F¯U¯~«r²x j¡)£¥²xª £F²T¿¥p)ÀFz²rÀ*¡)£Ó®Dª£F¦z«_¡z£F² φ4 ¡)£ ´ »OÁ µ ¨r aÎzª¤9£¥«r²x_mË®G¤h£5¿F¤T¬È®F a £F¯
aT£¨#%£F¤_¡a®Gz²¡rÍx)ªo¡ ®Fª.¯~£F¡)r%¯~«r²9 j¡z£F²9ª
®F²x φ2(x). »¼¡)p§®F²xª¡£* p£F²xªzrp
φ1 , φ2 , φ3 .
φ4 (x)
¡)r.Íxaªd¡ ®Fª
»O²È¡)rzª p®Fª±¡¯~£¥¦¦z£5¨ª
¯~)£F§ÌUxp£F)p§ ¸r ¸ ¡)x®5¡
£F² QT . ] ª%² ¡)r¢r)£f£F¯1£F¯
t) ≤ u1 (x, t)
Uxp£F)p§ ¸r ¸rÃ ª¡ Uk = R t e−γ(t−τ )uk (x, τ ) dτ, k u=2(x,
®G²9 W = U1 − U2. ÇA
1, 2, w = u1 − u2
0
£¥¤_¡)®F²¡9®5¡ w(x, t) ª£F¦z¿Fmª1¡rm³¥«9®5¡z£F²
´ ¹xzm¶¥µ −w + c(x)w + dφ (x)w − dφ (x)γ Z t e−γ(t−τ )w(x, τ ) dτ = d(φ (x) − φ (x))(U ) .
xx
x
1
1
2
1
2 t
0
´
´
¨¡ r£F§£¥ÀFp²xp£F«9ª%¤h£F«r²xx®G)¬ p£F²xr±¡)£¥²xª ¶_zF3µ ®G²9 ¶r3¶Fµ »¼¡ªm®Fª¦z¬Îªop²Î¡)x®5¡ U2 ª ®F¦zª£A®
ª£F¦z«_¡)£¥².¡£ ´ ¸r]¶Fµ ¯~£F φ = φ2 ¡9®5¡;ª)®5¡)zªoÍxª}¡r!¤9£¥«r²xr®F¬
£F²9_±¡)£¥²xª U2(0, t) = R t e−γ(t−τ )µ(τ ) dτ ≡
®G²x U2(L, t) + β(U2)x(L, t) = 0. Ò ¤xªp)¿F¡x®G¡ M (0) = 0 ®F²x U2(x, 0) =0 0. ] ¦zª£ Ã
M (t)
M 0 (t) = µ(t) − γ
ªz²x
Z
t
e−γ(t−τ ) µ(τ ) dτ =
Z
t
e−γ(t−τ ) µ0 (τ ) dτ,
ÁE®Ga®G§¡)p £¥²x_¡z£F² º m³¥«x)ª µ0 (t) > 0 ¯~£F t > 0. »¼¡¯~£F¦z¦£5¨ª#¡)x®5¡ M 0(t) > 0 ¯~£¥
Ur£F)p§ ¸r]¶ z§¢r¦zª¡9®5¡ (U2)t (x, t) ≥ M 0(t)k(x) > 0 ¯~£F t > 0. [ £5¨ p¿5®F¦«x®G¡ ´ ¹xzm¶¥µ ®5¡
Ur.¦p¯W¡x®G²9ªzrzªUm³¥«9®G¦J¡£
t = T.
0
0
µ(0) = 0.
t > 0.
−dφ1 (x)γ
Z
T
e−γ(T −τ ) w(x, τ ) dτ ≤ 0, x ∈ [0, L]
ª z²x w(x, T ) = 0, ¤r«_¡¡rzÀFf¡%x®F²xËªz_*zª¢9£fªo¡z¿F¯~£Fª£F§ x ∈ [0, L]. Urª £F²f¡))®¥_z ¡z£F²
¢x£5¿¥ª#«r²r³f«rp²rmªª
Uxp))p§®Gz²xª!¡r
§®5¡o¡)p#£G¯}¡)r.ªd¡a®G¤rz¦¡d¬£G¯@¡)r.²T¿¥paªo¢x£¥¤r¦§ ´ »OÁ µ Ur¯~£¥¦¦z£5¨z²rÀpÄ_®F§¢r¦
ªr£5¨ª1¡9®5¡ ´ »OÁ µ zªU²x£G¡ªo¡)®G¤x¦
!<T R:SN IV!V p¡ φ (x) = 1 ®F²x_pÍx²r1®F²%«r²T¤h£F«r²xr%ª³f«r²x 1£G¯x £¥²f¡z²f«x£F«xª@¢h£¥ª¡z¿F¯~«x²x j¡)£¥²xª
0
®Fª!¯~£F¦z¦£5¨ªÂ φn(x)
¯~£F £¥«_¡)ªzr
®F²²f¡)p)¿3®F¦J£G¯¨T¡
»O²9ªo_
2 pp²f¡m®5¡
φn (x)
¡)rªz²f¡p)¿5®G¦ Ã ¦z¡ φn (x) =¤h*1®¦z²rxm®Gª¢r F¨¡Ë¢h® A£F¯®G¦¡¡«x_1/(n
(n ++1)2) p²f¡)p)Î®5¡ 1/2.
` ® ¥
1/2.
®F²T¬ ar£¥z p£F¯E¡r§®F²x²rÀ*¢x®Ga®G§¡)paªU¡9®5¡ª®G¡ªdÍxmª¢x®F)®F§¡ p£F²x_¡z£F²9ª ¶ Ê År ¡ un(x, t) =
®F a¯~«r²x ¡z£F² un(x, t) ª®G¡ªdÍ9ª ´ ¸r]¶Fµj ¡ wn (x, t) = u0(x, t) − unx, t),
u(x, t; φn ), n = 0, 1, . . . .
aT«r¤r¡a®F j¡E¡)rªm³¥«9®5¡z£F²9ª7¯~£F
®F²x un ®F²xm®G))®F²rÀF!¡§ªE¡)££F¤_¡a®Gz²¡x®G¡ wn (x, t)
n = 1, 2, . . . .
u0
ª)®5¡)zªoÍxmª#¡rm³¥«9®5¡z£F²
0
B
=
2=
=
B
B
−(wn )xx + c(x)(wn )x + dφ0 (x)wn = F (x, t) + γdφ0 (x)
Z
t
e−γ(t−τ )wn (x, τ ) dτ
0
÷
!
"$#%
&'()*
¨xp)
Z t
−γ(t−τ )
F (x, t) = d(φ0 (x) − φn (x)) γ
e
un (x, τ ) dτ − un (x, t) .
Ux%¯~«r²x ¡z£F²
F® ¦zª£*ª)®5¡ªoÍxªr£F§£¥ÀFp²xp£F0«9ª¤9£¥«r²xr®F¬ £¥²x_¡z£F²xª
»¼¡¯~£¥¦¦z£5¨ª#¡x®G¡ wn ª®G¡ªdÍxmª#¡rz²f¡ÀFa®G¦J³f«x®G¡z£F²
wn (x, t)
β(wn )x (L) = 0.
wn (0) = 0
®F²x
wn (L) +
Z L
Z t
´ ¹xz¸fµ
ξ
wn (x, t) =
K(x, ξ; φ0 ) F (x, t) + γdφ0 (x)
e−γ(t−τ )wn (x, τ ) dτ
0
0
a_²x p¢x®F)®F§ p ¡J p£F²xr±¡)£¥²xª Ê Å ®G)ª®G¡ªdÍ9 Ã ¨1E§®3¬®F¢r¢r¦z¬Ur£F)p§ ¸x ¸ ¡)££F¤_¡a®Gz²
¡x®G¡
ut (x, t; φn ) ≤
~
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ut (x, t; φ0 )
(x, t) ∈ QT .
0
t
un (x, t) ≤
~
¯
F
£

¡
F
®
x
²

[ £F¡
u0 (x, t)
(x, t) ∈ QT .
KC = max0≤x,ξ≤L K(x, ξ; φ0 )
KU = max(x,t)∈Q u0 (x, t).
¡)x®5¡ |φ0 (x) − φn (x)| ≤ n + 1 ®G²xÐ¡)x®5¡¡rª_±°Jp)p²9 D¿5®G²xzªrª*£F«_¡aªo_È®G² z²¥¡)p)¿5®G¦£F¯¨zT¡)
B® ¥®G¤xª£F¦z«_¡¿5®F¦«rmª7£G¯J¤9£F¡ªz_mªE£G¯ ´ ¹9m¸¥µÃ ¿F)ª1£¥)rpE£G¯Jz²¥¡)pÀ¥)®G¡z£F²z² ¡rªom £F²9
1/(n + 1)2 .
¡)p)§ ®F²x*¨#.£F¤_¡a®Gz²*¡)x®5¡
B
T
=
dKC (γT KU + KU )
+ γdKC L
|wn (x, t)| ≤
n+1
²®G¢r¢r¦z p®5¡)£¥²£F¯RW
)£F²TÜ®G¦z¦=X ª#²rm³f«x®G¦z±¡d¬*¬fzp¦rª#¡)x®5¡
]
|wn (x, t)| ≤
Z
t
|wn (x, τ )| dτ.
0
dKC KU (γT + 1) γdKC Lt dKC KU (γT + 1) eγdKC LT
e
≤
.
n+1
n+1
Ux¦z®G¡o¡¡§ ¡²xrªU¡)£ ®Fª
Uxp)¯~£F) Ã ¡)r¯~«r²9 j¡z£F²9ª
p£F²T¿FÀ¥
¡)£ u0(x, t) = u(x, t; φ0 ) «r²x0±¯~£¥§n¦z¬→£F²∞.[0, L], ¬Fp¡ kφn − φ0 k = n ¡)pu²xnx(x,
ªU¡T£ )∞=ü(x,
¡ Tn.; φn)
_º .x@~4I5 7!45%. »O²¡xzªª ¡z£F²¨1ªr£5¨|¡)x®5¡U¡x²T¿F)ª¢x£¥¤r¦§ ´ »OÁ µ zª®F§p²x®F¤r¦¡£²T«r§p) p®G¦@ p£F§¢r«_¡a®5¡z£F²
«x²x_p§£__ªo¡mªd¡) j¡)£¥²xª£F²|¡)rÈ¢x®Ga®G§¡)paª Ã ®G²x¢r)ªp²f¡®¯~p¨ÌÄr®G§¢r¦zÈ ®G¦ «r¦®5¡)£¥²xª ÇA
p£F²_Í9²r£¥«r p®F¦z p«r¦z®G¡z£F²xª¡)£*¡)r ¯~«r²x j¡)£¥² u(x, t) ²A¡xª£F¦z«_¡)£¥²Ó¢x®F u, a £G¯ ´ »OÁ µÃ ªoz²x p a(x, t) zª
m®Fª¦z¬) p£5¿Fp)¯~£¥§ u(x, t) ¤T¬ ´ ¸rzmµ
rº ¥ ÉEGTUNJ @SB%<:76B IN)TUN
CQJD<FÎ F AN J Cx')( @ NJ N)F A@=<:7-VSV ÇÈÍxaªd¡!_¿F¦£¥¢®F²²f¡)pÀF)£GÊ
r±°Jp)p²f¡®G¦Ê Áª£F¦z¿F¨r aA ®G²Ó9®G²x_¦z%¡)rÀF²rpa®G¦;¤9£¥«r²xr®F¬¿5®G¦z«r¢r£¥¤r¦zp§ ´ ¶r Fµl½ ´ ¶_ ¥µ ÇA
®¥ªª«r§¡x®G¡®F¦¦U¡)rT¬T¢h£G¡xªª £G¯.Urp£¥§ ¶r ¶ ®G)*§p¡ Ã ¡x®G¡ ª Ã β, γ ®G²x q(x) ®F¢h£¥ª±¡)¿¥ Ã
®G²9 µ(t) ²r£F²_Ê¼²rÀ¥®5¡)¿¥®G²x®G¦z¦!¯~«r²9 j¡z£F²9ª p£F²f¡z²T«r£F«xª ¡ u(x, t) ¤9¡xª£F¦z«_¡z£F²Î¡)£Ó¤h
F (x, t)
p£F§¢r«_¡) Ã ®G²x_Í9²r
Z t
´ º_zmµ
U (x, t) =
e−γ(t−τ ) u(x, τ ) dτ.
0
¡ ∆x = L/M ®G²x ∆t = T /N ¤9ªo¡p¢ ª ª² x ®G²x t ¡£ ¤h«xª z²Ë¡xrzª) )¡) m®5¡z£F²£G¯
¡)rªU¢r£¥¤r¦zp§ Ã ¨rp) M ®G²x N ®G)¢h£¥ª¡z¿F
²f¡ÀF)ª ÇÈ.¿T¨ ´ ¶r Fµ ®F²x ´ º_zmµ ®FªU®G²p¿F£¥¦«r¡z£F²x®F¬
ª¬_ªd¡)p§ z²¡r#«r² T²r£5¨²9ª u ®G²x U. Ur1p¿¥£F¦z«_¡z£F²x®F¬
®Fª¢9m j¡B£G¯ U ª§®Fr1 ¦z®F}¤T¬
¡r#£F¤xªp)¿5®5¡)£¥²
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[
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U (x, t)
Z
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t−∆t
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ +
0
= e−γ∆tU (x, t − ∆t) +
®F²x
®G²9
tn = n∆t, n = 1, 2, . . . N
®F
q(k∆x), µn = µ(n∆t)
Z
t
Z
t
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ
t−∆t
e−γ(t−τ )u(x, τ ) dτ.
Íx²x pk = p(k∆x), qk =
¥p¨ªo1£F«r7®G¢x¢r£3Ä_z§®5¡z£F²9ªJ¡r#Är®¥ j¡Bª£F¦z«_¡)£¥²xª
t−∆t
xk = k∆x, k = 1, 2, . . . M.
Fk,n = F (k∆x, n∆t). B
U=
uk,n
≈ u(xk , tn ) = u(k∆x, n∆t)
Uk,n
≈ U (xk , tn ) = U (k∆x, n∆t)
ÇÈªx®G¦z¦}£¥¤_¡)®F²ª £¥²x£Fa_p®¥ p p«r)®G¡®G¢x¢r£3Ä_z§®5¡z£F²9ª ´ z²¤9£F¡ ∆x ®G²9 ∆tµ ¡)£¡xª¿3®F®G¤x¦mª
Uxp)¯~£F) Ã ¨#D«xªA pp²f¡mÍ9)ªo¡®F²x ªom £¥²x _°h²x mª¡£ _zª) )¡) ´ ¶r Fµ ®G²9 ® ¡a®G¢h £Fr®G¦
§p¡r£_¡£_ª pp¡ p ´ ºr ¶¥µj Ur.)ª«r¦¡)ª#¡x%ªo¬_ªo¡p§
´ º_ ¸¥µ − 1 + p ∆x u + 2 + (∆x)2 q 1 − γ∆t u − 1 − p ∆x u = G ,
k−1,n
k
k,n
k
k+1,n
k,n
k
2
2
2
¨xp)
´ º_ ¹fµ
∆t
2
−γ∆t
.
Gk,n = (∆x) Fk,n + γe
qk Uk,n−1 +
uk,n−1
2
ÇÈ%®G¦ª££¥¤_¡)®F²
´ º_]ºFµ
∆t −γ∆t
e
(uk,n−1 + uk,n ) .
Uk,n = e−γ∆t Uk,n−1 +
2
Uxªm³¥«9®5¡z£F²9ª
®¥ p p£F«r²f¡
¯~£F
¡rz²f¡p)z£F
²r£__ª (xk , tn), k = 1, . . . , M ®G²9 n = 1, 2, . . . N. Ur
¡)p)§ª u0,n ®G²9 uM +1,n ®G)1¦z§²9®5¡m¤T¬%«9ªoz²rÀ¡r¤h£F«r²9r®G)¬% £¥²x_¡z£F²xª UrUz²f¡pÀ¥£FÊ¼r±°Jp)p²f¡®G¦
¤h£F«x²xr®G)¬ ¿3®F¦«x¢r)£F¤r¦zp§ª²r£5¨ ª£F¦z¿F¤T¬ªoz²rÀ¥¦ªo¡¢§®Ga arz²rÀ%§¡)r£_ Ã ¨xz aª1Ä_¢r¦zz p±¡#²¡)§
®F²xz§¢r¦ ¡z²Aª¢x®¥ Ur Á ®G¦zÀF£¥¡r§É p®F²D¤9 _ª) )z¤9mD®Fª¯~£F¦z¦£5¨ªÂUÀFz¿Fp²¿5®F¦«rmª£F¯ U, u ®5¡
¡)r (n − 1)Êl¡È¡z§¦¿F¦ Ã ªo£¥¦¿¥ ¡r¦z²x®Gªo¬_ªo¡p§ ´ ºr ¸¥µ¼½ ´ º_ ¹fµ ¯~£F%¿5®F¦«rmª£G¯ u ®G¡¡r nÊl¡Î¦zp¿¥p¦ Ã
¡)rp²«9ªo ´ ºr º¥µ ¡£ª£F¦z¿F.Ä_¢r¦z ¡¦z¬¯~£F U ®G¡¡r nÊl¡¦zp¿¥p¦ Ur%ª£F¦z¿3®F¤rz¦¡d¬£G¯B¡xzªªo¬_ªo¡p§ §¢h£¥ªª
ª£F§%ªo¡)®F¤r¦z¡d¬)ªo¡)z ¡z£F²xª Ã ²x®F§p¦z¬¡9®5¡ ∆t < 2/γ ®G²x ∆x < 2/ kpk . Ç ±¡)¡rmªomªd¡) j¡)£¥²xª Ã ±¡
®G²¤hªox£5¨²*¡)x®5¡¡)r Á|®F¦À¥£F)±¡)r§ p£F²T¿FÀ¥ª1¡£¡)rª£F¦z«_¡z£F²¨¡¡)«r²x ®5¡)£¥²)£Faª#²¿F²
¢h£5¨#paª£G¯¡r.ªd¡)p¢ªo pmª Ã ªo£¡x®G¡#¡zª#ª £¥²x£¥)_1z²*ªo¡¢ª ª Uxp)¯~£F) Ã ¡x
®F¦À¥£F)±¡)r§ ®G²¤9
p£F§¢r«_¡)A®5¡%ªd¡)p¢È®G²xÓx®G¦¯#ªo¡¢Aª ª Ã ¯~£F¦z¦£5¨#¤T¬D®ªoz²rÀ¥¦ªd¡)p¢A£G¯ ^ z ax®F)xªo£¥²ÄT¡a®G¢h£F¦®5¡)£¥²¡£
¬Tzp¦®¯~£¥«r¡£Fa_pU§¡)r£_
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£F¯1¡)r£F¢hpa®5¡)£F A ª¿F¬Aªd¡))®FÀ¥¥¡¯~£F)¨#®F) _Y z)ªo¡ Ã _zª) )¡) ¡r*x®5¡)®¯~«r²9 j¡z£F² g ®F²x ®G)ÀF«r§p²f¡
¯~«x²x j¡)£¥² ¿T® = g(k∆x), k = 0, 1, . . . M +1, ®F²x φk = φ(k∆x), k = 1, 2, . . . , M. [ pÄT¡ Ã £¥¤xªo¿¥
¡)x®5¡ v(x,φt) = gukt(x,
ª®G¡ªdÍxmª¡r ³f«x®G¡z£F² ´ ¸r ¹fµÃ ¡£¥ÀF¡)rp
¨¡È¤9£¥«r²xr®F¬D p£F²x_¡z£F²9ª v(0, t) =
t)
®F²x v(L, t) + βvx(L, t) = 0, ª£¡x®G¡.¡r¯~«r²9 j¡z£F² V (x, t) =) R t e−γ(t−τ )ut(x, τ ) dτ p®F²A¤h
µ0 (t)
®F¢r¢r)£3Ä_§®5¡)*¤f¬¡r£¥«_¡¢r«r¡£G¯B¡r Á ®F¦À¥£F)±¡)r§ Ã ®F¢r¢r¦zm¡£ v(x, 0t), )ª«r¦¡z²rÀ²®G¢x¢r£3Ä_z§®5¡
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²x£Tr¿3®F¦«xª Vk,N . W
¿¥p²®G²®G)ÀF«r§²¥¡ Φ = (φ1 , . . . , φM ), ¡)r%_ª pp¡ p£F¢hpa®5¡)£F#zªÀFz¿Fp²¤T¬
∆x
´ º_ Å¥µ
(1 + ck ∆x
2 )gk−1 − 2gk + (1 − ck 2 )gk+1
(AM Φ)k =
dVk,N (∆x)2
¨xz a ª¿5®G¦zÐ¯~£F k = 1, 2, . . . M. Urª*)³f«rz)ª®Î¿5®G¦z«r¯~£¥ gM +1, ¨rz a| p£F«r¦ ¤hD£F¤_¡a®Gz²r
¤T¬A«xªoz²rÀ¡)rx«_ÄÎ £¥²x_¡z£F²È¡9®5¡ g(x) ª®G¡ªdÍxmª%®5¡¡)r)À¥f¡%p²x_¢h£Fz²f¡®G²9È® pp²f¡m _±°Jp)p²9
rzª) )¡) m®5¡z£F²Ð£G¯ g(M ∆x) + βg0 (M ∆x) = 0. »¼¡*®F¦zª£ m³f«r)ª g0, ¨xz aÐzª*_¡)p)§ z²rm ¤T¬¡r
¤h£F«x²xr®G)¬Ë £¥²x_¡z£F² g(0) = µ(T ). ÇÈ ®G² ²r£5¨©«xª \ £¥£¥¦¦®G)¬ ¹x]º ¡)£ rp¿Tzª®Aª§¢r¦z§¡x£T Ã
¨xz a ¨1*¡p)§ ¡x»OÁ®G¦zÀF£¥¡r§ Ã ¯~£¥ p£F§¢r«_¡)²rÀA¡xª£F¦z«_¡z£F²Ë¡£A¡r²T¿¥paªo¢r£¥¤r¦zp§Â¦z¡ ¡r
z²r¡®G¦;ÀF«rmªª Φ0 ¤9¡)r_ª) )¡ ®G¡z£F²£G¯ h(x) ®Fª_pÍx²rm² ´ ¹x ¸¥µ Ur²«xª.ÍrÄ_¢h£Fz²¥¡±¡)pa®5¡z£F²
£F¯ ´ º_ Å¥µ «r²f¡z¦! £¥²f¿¥p)ÀF²x ÇAz¦¦z«xªo¡a®5¡ ¡)r»OÁ ®F¦À¥£F)±¡)r§ ²A¡x¯~£¥¦¦z£5¨z²rÀ*¡)r)pÄr®G§¢r¦zª »O²
¡)rªUÄr®G§¢r¦zª Ã ¨## p£F²xª_pB¡x_) ¡E¢r£¥¤r¦zp§ ´ Fzmµ Ê ´ ¥ º¥µ z² ±¡aª7³f«rz¿3®F¦²f¡B¯~£¥§ ®Fª;¡r¤h£F«x²xr®G)¬
¿5®F¦«r.¢r)£F¤x¦§ ´ ¸x ¶¥µjÃ ´ F ¸¥µ ®G²x ´ ¥ ¹Tµj
ºr ¸x !<T G:=N>%V ÇÈD £¥²x ¦z«x_¨¡ ¡)r¯~£F¦z¦z£5¨²rÀ pÄ_®F§¢r¦mª Ã ¨r a ¦z¦z«xªd¡))®G¡¡)x®5¡¡)rDz²T¿Fpaª
¢x£¥¤r¦§ ´ »OÁ µ ®G²¤9ª£F¦z¿Fm²T«r§p)z ®G¦z¦¬¨¡r£¥«_¡_Æ «r¦¡d¬«xª²xÀ¡)r®G¦zÀF£F)¡r§ ¨#9®3¿F
£F«_¡)¦z²r
®F¤9£5¿¥ Ã ¢x£5¿T_¡9®5¡!¡)r¿5®G)z£F«xªx®5¡)®®F²x¢x®F)®F§ p¡Ef¬T¢h£G¡)rªª¡x®G¡!¨1x®3¿Fª¢9m Íx®F§p¡ Ã
®F²x ¡9®5¡¡)r²r£¥zª¦¿F¦xªE²r£G¡!¡£T£%ÀF)®G¡ Urª)ª«r¦±¡aªE¨#p)ÀFp²xpa®5¡m«9ªoz²rÀ ` ] I] E)ªz£F²xª
£F¯;¡)r.¢r)£FÀFa®G§ª#«xª p®F²¤h£F¤_¡a®Gz²r¯~)£F§ ¡)r%®G«r¡r£¥)ª ´ À ¡)ªr£F)ª§®5¡) «x²r¦ r« µj
!<T R:SN V QV »O² ¡xzª*Är®G§¢r¦z Ã ¨#¦p¡ L = 2, T = 2, γ = β = 1, c(x) = 1 + cos(3x)/3,
®G²x µ(t) = (1 − e−αt)/α, ¨xp) α > 0. »¼¡
ª®Fªz¦¬¿FÍxm¡x®G¡
φ(x) = 2 − x/2 + x2 sin(3x)/3
¢9®Ga®G§¡)p £¥²x_¡z£F²xª ¶ Ê º ®G)ª)®5¡)zªoÍxm Á7®F)®F§¡ £F²9_±¡)£¥² Å ¢r)ªp²f¡aª ª£F§_Æ «r¦¡d¬ Ò ²r
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¡)£È¡rz²f¿¥paªo¢r)£F¤r¦zp§ ÇÈ¡r² «9ªomË¡)r»OÁ ®F¦À¥£F)±¡)r§ ² ¡)®F²x_§¨±¡)¡)r«r²rpÄf¡))®F¢9£¥¦z®G¡m
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ª
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¡¡r¯~£F«xo¡)D±¡)pa®5¡)£¥² Ã ¡)r²x£F)§É£F¯E¡rp)£¥ª kg − φ4 k =. 0.0021. UrÍx)ªo¡¯~£¥«r
±¡)pa®5¡mª®F²x
]
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£G¯¡)®G¡z£F²xª
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α = 3.0
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U
B
O
=
<
<
<
<
÷
!
"$#%
&'()*
Example 5.1 iterates with α=0.2.
2
Iterate 1
Iterate 2
Iterate 3
Iterate 4
Exact Solution
1.8
1.6
1.4
φ(x)
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
1.2
1.4
1.6
1.8
/;}.
²x£G¡ Ã x£5¨1¿Fp Ã ¡)x®5¡¡rªa®G¢xz p£F²T¿FÀ¥p²x p
ª¡£®*ªo£¥¦«_¡)£¥²¨r aDzª¿Tzª¤x¦¬¦zª)ª®F «ra®5¡)%®5¡¡r
¦z¯W¡Up²9_¢9£¥²f¡ ÇÈ¯~£¥«r²x¡)x®5¡Ux®F¦¿Tz²rÀ%£F²x¦¬ ∆x _²r£F¡1z§¢r£5¿¥¡xzª1¤9x®3¿T£¥ Ã ¨rz¦x®G¦z¿T²rÀ£F²r¦z¬
)_«9 ¡rp)£¥¤T¬®%¯=®F ¡£F1£G¯®F¤9£¥«_¡!¡d¨#£ Ã ¨r a¨#®¥ªE¡)rª)®G§)ª«r¦¡!£F¤r¡)®Gz²rm¯~£¥§x®G¦z¿T²rÀ
∆t
¤h£G¡) ∆t ®F²x ∆x. UrmªoÄ_¢hp)§p²f¡aªª«rÀFÀ¥ªo¡¡)x®5¡¡r Á ®G¦zÀF£F)¡r§Ézª¢h£¥ª)ªoz¤r¦z¬Dªom £F²9£Fa_p
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¢x£¥²r£F«r²9 aTz²x p¡r£F¢hpa®5¡)£F A ª p£F§¢x®F ¡ Ã £F²r²rrª®)pÀF«x¦z®F ®G¡z£F²ªo¡a®5¡)pÀ¥¬ »O²x_pm Ã ¡r
rzª) )¡) m®5¡z£F²£F¯;¡)r_pÍx²r¡z£F² ´ ¹93µ £G¯ ¤T¬Ü®3¬£F¯ ´ º_ Å¥µ ª¡)ªp¦¯E®)pÀ¥«r¦®G) m®5¡z£F²ªd¡))®G¡ÀF¬*¨¡
)pÀ¥«r¦®G) m®5¡z£F²¢9®Ga®G§¡)p ∆x. aT²9 ¡rA£F¢hpa®5¡)£F A ª
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¡)r²T«r§pa®5¡)£Fz² ´ ¹xzmµ ] ª§¢r¦z%;®3¬T¦z£Fªp)mª®G²x®F¦¬_ªzªªr£5¨ª1¡x®G¡¯;¡)r%²r£¥zª.¦¿Fp¦zª¤h£F«x²x_
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U
U
U
c1 δ
δ
+
+ c2 (∆x)2
2
(∆x)
∆x
2
÷
!
"$#%
&'()*
Fixed point iterates for Example 5.1 with α=3.0.
2.5
Iterate 1
Iterate 2
Iterate 3
Iterate 4
Exact Solution
2
φ(x)
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
1.2
1.4
1.6
1.8
/;}.
¨xp) c1 ª%®G²Î«x¢r¢9¤h£F«r²9 £F² |c(x)| , 0 ≤ x ≤ L, ®G²x c2 ª® p£F²xªo¡)®F²¥¡¡x®G¡_p¢hp²9rª%£¥² ¡r
ª p£F²x ®F²xÐ¡xa _p)z¿3®G¡z¿Fmª£G¯ ut ®F²x c(x). UrªÄ_¢r)ª)ª£¥²Ðª§z²rz§ pm ´ ¡)£Ë¦z®Fr²rÀÎ£¥)rp
z² ∆xµ ®5¡ ∆x = (c2 δ)1/4 , ¨rz a ªo«r¢x¢r¦zª«xª¨±¡)®)pÀF«x¦z®F ®G¡z£F² ªd¡))®G¡pÀ¥¬ ²r¯~£F¡«r²x®G¡¦¬ Ã ±¡
ª)®G¡r*¢hª)ªoz§zªo¡ Urp)A®FD§®F²f¬ ®G¦¡²9®5¡z¿Fmª Ò ²rÓ £¥«r¦ Ã ¯~£FÄr®F§ ¢x¦ Ã «xªÓU Tr£¥²r£5¿
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£F¯¡)rr®5¡a®z²*¡a®G²xrp§ ¨¡¡r_ª) )¡ ®G¡z£F²¨#.p§¢r¦z£5¬² ´ ºr Åfµj ] ¢x®G¡ «x¦z®F¦z¬ªoz§¢r¦.§z²x_
®F¢r¢r)£¥®¥ a¨#£F«r¦¤h%¡£_£*®¦z®¥ªd¡ª)³f«x®G)ªÍr¡£G¯E¡)rr®G¡)®¢h£Fz²f¡)ª¡£®¢9£¥¦¬T²r£¥§ ®G¦£G¯ªo£¥§_pÀ¥
ÇÈz¦¦z«xªo¡a®5¡
¡)rª%ªd¡))®G¡ÀFzª#²¡)r
¯~£F¦z¦£5¨z²rÀÄr®G§¢r¦z
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U
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¨#.«xª.¡r%ª)®G§.¢x®Ga®G§p¡paªU®FªUz² Är®G§¢r¦z ºr¥Ã ¤r«_¡¨#.mªd¡) j¡
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¢x®Ga®G§p¡p#®G²xr®5¡a® p£F²x_¡z£F²9ª1®F§ p¡ ÇÈ
®G¦ «r¦®5¡)¡)r
α
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«x²r±¯~£¥§¦z¬*_ªd¡)z¤r«_¡)£F²¡r.z²f¡p)¿5®G¦ [−δ/2, δ/2]. ÇÈ.¡£T£ δ = 0.0001. »O²¿T¨ £G¯;¡r_ª) «xª)ªoz£F²
E
2=
2
÷
!
"$#%
&'()*
Fifth iterates
Fifth iterate, polynomial s
2
2.2
1.8
2
1.6
1.8
Dx = 0.05
Dx = 0.1
Solution
1.4
1.6
1.4
φ(x)
φ(x)
1.2
1
1.2
0.8
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0
0
0.5
1
x
1.5
0.2
2
0
0.5
/;}.
¢xm r²rÀ¡xzª7pÄ_®F§¢r¦ Ã £F²r#§À¥f¡7pÄ_¢9m j¡7¡rU£¥¢_¡z§«r§ ÀF«r¦®G) m®5¡)£¥²¢x®Ga®G§¡)p;¡£
¤9 ∆x ≈ 0.1.
a_²x p1¨#U®G)1¦®F Tz²rÀ
rp)¿5®5¡)¿¥1z²_¯~£¥§®5¡)£¥² Ã ¡)®G¦T®G²xp)£¥;¨z¦¦_ª«rÀFÀ¥ªo¡B®F²£F¢r¡z§®F¦T¿3®F¦«x
»¼¯B¨1
«xª ∆x = 0.01, ®Fª#z² Ä_®F§¢r¦ ºr¥Ã ¡)r.mªo«r¦¡)ªU®F
¿F¬¢h£f£¥ \ £¥§ ¢x«_¡)®G¡z£F²xª1¯~£F ∆x = 0.05
®F²x ∆x = 0.1 ®G)¦z¦«9ªd¡))®G¡ z² Y zÀF«x º_ ¸rÃ ®G¦z£F²rÀÈ¨¡ ¡xÄr®F ¡ª£F¦z«_¡)£¥² Y £¥¢r«r)¢9£fªomª£G¯
p£F§¢x®Fªo£¥² Ã ¨#U¡r²ª§£T£G¡x¡rx®5¡)®.¤T¬ _£Fz²rÀ®
¦m®Fªo¡!ª³f«x®FmªÍx¡!£G¯@®¡p²f¡)_pÀ¥#¢h£F¦z¬T²r£F§®G¦
¡)£¡ Ã ¡xp²®F¢r¢r¦zm£¥«r1®F¦À¥£F)±¡)r§ ¨¡ ∆x = 0.01. Ur
mªo«x¦±¡#zª#®G¦ªo£¢r¦£F¡o¡)z² Y zÀF«r) ºr ¸xÃ ¨r a
p¦m®G)¦¬z²x_ p®G¡mªU¡x®G¡¢9£¥¦¬T²r£¥§z®F¦Jª§£T£G¡x²rÀª®ªo«x¢9z£FU)pÀF«x¦z®F ®G¡z£F²¯~£¥ ´ »OÁ µ z²¡rª ®Fª
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6+/"/"
!<T
¥£ #£¥«r#¦z®¥ªd¡UÄr®G§¢r¦z Ã ¨#
¦p¡ L = 1, T = 3, γ = β = 1, c(x) = 1 + cos(3x) ¶ ®F²x
Á7®F)®F§¡ £¥²x_¡z£F²xª ¶ Ê Å ®G)m®Fª¦z¬¿¥p)±Í9 ÇA#ªox®F¦¦f²r£F¡Bª¢9m ¯~¬¡)r1ª£F¦z«_¡)£¥² φ(x), ¤r«_¡
µ(t) = t2 .
¨#.¨¦z¦ª¢9m ¯~¬ g(x). Ò ¯B p£F«raª Ã ¡r%®F
)ªo¡)z ¡z£F²xª#£F²£F«x ar£F Ã ²x®G§p¦z¬¡)r%r®5¡a® £F²9_±¡)£¥²xª
Ê ¸ §«9ªd¡¤hª®G¡ªdÍxm Urª.Är®G§¢r¦z ¡)® ¥ª
£F²A¡x 9®3¿F£¥£F¯#® £¥²¥¡)£¥¦B¡r£F)¬¢r£¥¤r¦zp§ Ã ª²x p¨1
®F*²r£G¡ªz§«r¦®5¡)²rÀA®D§®¥ªo«r)p§²¥¡%£F¯r®5¡a® Ã ¤r«_¡ )®G¡rª¢9m ¯~¬T²rÀÓ¡rr®5¡a®D®G²9Î®5¡o¡)p§¢_¡)²rÀÓ¡£
Í9²xË® φ(x) ¨r aÎ¨z¦¦ oªo¡p ¡)rª¬_ªd¡)p§Ì¡£¡)rªo¡)®G¡ u(x, T ) = g(x). ÇÈ*§® F¡)rªp¦z ¡z£F²
Ò ²r arm _ªB¡x®G¡1r®5¡a®. £F²9_±¡)£¥² Ê ¸ ®Fª)®5¡)zªoÍx¨¡¡xzª ax£F £G¯ g(x). ] Àf®Gz² Ã
g(x) = µ(T )e−x .
¡)r%z²r¡®G¦}À¥«rª)ª#¯~£F φ(x) ªU¡x.¯~«r²x j¡)£¥² φ0 (x) = h(x) £G¯ ´ ¹x ¸¥µ UrÍ9)ªo¡UÍx¿F¡)®G¡ª®G).ªr£5¨²
z² Y zÀF«r) Ã]º_ ¸ ®G²x¡)rp¬®F¢r¢9m®G¡£* p£F²T¿FÀ¥§ £¥²r£G¡)£F²r¦¬*¡£®¦z§±¡ 9 ` £¥£5¿F Ã ¡¡)«r)²xª£¥«_¡¡)x®5¡
¯ u(x, T ; φ8) zª £F§¢r«r¡Î®F²xÎ £¥§¢x®G)A¡£ g(x), ¡r²x£F)§ £G¯U¡)r_°Jp)p²x pzª®G¢r¢r)£3Ä_§®G¡p¦z¬
R:SN
!V6V Y
=
=
0.000139.
2=
1
x
÷
!
"$#%
&'()*
Fixed point iterates for Example 5.3
5.5
Iterate 1
Iterate 2
Iterate 3
Iterate 4
Iterate 5
5
4.5
4
φ(x)
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
0.6
0.7
0.8
0.9
1
/;}.
Urª¢x®F¢9¨#®¥ª1¨)¡o¡²_«r)²rÀ ¡)r¿Tzª±¡£F¯¡x.Íx)ªo¡®G«_¡)r£F®G¡U¡r ²r¿¥paªo¡d¬
£F¯ [ ¤ra®Fª 3®GÊ ²9 £F¦z² B¾
¨zªrª!¡£Ä_¢r)ª)ªrª#ÀFa®5¡)±¡)«x_¡)£%¡)r p¢9®G¡§p²f¡U£G¯ ` ®G¡r§®G¡ pª#®G²x
aT¡)®5¡)zªo¡ pª£G¯¡)r ²x¿¥paªo¡d¬£G¯ [ ¤r)®¥ª 5®GÊ ²x p£F¦z²¯~£¥ªo«r¢x¢9£¥o¡)²rÀ ¡)rzª¿fª±¡
+
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1
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p²rªo£5¿JÂE_² pª §ª« ªo«
]
¨ af¡a®5¡) ²rz¿F)ª±¡d¬ Ã E£F)£F¤rz£5¿T¬
Y ®F p«r¦±¡d¬*£G¯ £F§¢r«_¡a®5¡z£F²9®G¦ ` ®G¡r§®G¡ pª®F²x ¬T¤hp)²r¡)z ª Ã ` £¥ª) £5
\
\
W
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4
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